Dạng toán chúng ta thường gặp ở bậc trung học cơ sở là những bài toán chứng minh liên quan đến hằng đẳng thức. Trong đó bài toán hãy chứng minh a3+b3 +c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) đã được rất nhiều các bạn đọc hỏi. Vì vậy hôm nay chúng tôi sẽ giúp bạn chứng minh biểu thức này. Để bạn có thể dễ dàng làm một số bài toán tương tự. Ngoài ra chúng tôi sẽ giúp bạn ôn lại những kiến thức liên quan đến hằng đẳng thức. Bài viết dưới đây cũng sẽ giúp bạn luyện tập dạng toán này với một số bài toán mẫu. Mọi người đừng bỏ qua những thông tin dưới đây nhé.
Một số kiến thức về hằng đẳng thức bạn nên nhớ
Điều quan trọng để giải được một bài toán đó chính là bạn phải nắm vững phần lý thuyết. Đối với bài: a3+b3 +c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) thì chúng ta phải rõ về hằng đẳng thức. Kết hợp với kiến thức của phần phân tích đa thức thành nhân tử để chứng minh biểu thức này. Sau đây là một số phần lý thuyết bạn nên nhớ.
Các hằng đẳng thức đáng nhớ
(a+b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
a2 – b2 = (a + b)(a – b)
a3 + b3 = (a+b)(a2 – ab + b2)
a3 – b3 = (a+b)(a2 + ab + b2)
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 – b3
Phân tích đa thức thành nhân tử
Khi chứng minh một biểu thức chúng ta thường sử dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để áp dụng. Với các phương pháp như thêm bớt số hạng, áp dụng hằng đẳng thức đáng nhớ. Ngoài ra còn có phương pháp đưa về nhân tử chung và kết hợp các phương pháp lại với nhau. Như chúng ta đã thấy bài toán chứng minh a3+b3 +c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) biểu thức chúng ta cần sẽ phải đưa về dạng nhân tử. Để biết rõ hơn cách giải bài toán này thì mọi người hãy theo dõi bài viết sau.
Hãy chứng minh biểu thức a3+b3 +c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
Với phần trên chính là phần lý thuyết sẽ giúp ích cho chúng ta trong việc giải bài toán liên quan đến chứng minh các hằng đẳng thức. Và sau đây là trình tự giải bài toán Hãy chứng minh biểu thức a3+b3 +c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) với các bước đơn giản nhất.
Ta sẽ phân tích a3+b3 +c3 – 3abc (1) thành nhân tử, ta có:
(a+b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 suy ra: a3 + b3 = (a+b)3 – 3ab(a+b) (áp dụng hằng đẳng thức)
Như vậy: (1) tương đương (a+b)3 – 3ab(a+b) + c3 – 3abc = (a+b)3 + c3 – (3ab(a+b) + 3abc)
= (a+b+c)(a2+2ab +b2– (a+b)c+c2) – 3ab(a+b+c) = (a+b+c)(a2+2ab+b2– (a+b)c+ c2– 3ab) = (a+b+c)( a2+2ab+b2– ac – bc+ c2 – 3ab) = (a+b+c)( a+b2 c2– ac – bc- ab) = vế phải. (điều phải chứng minh)
Kết luận: a3+b3 +c3 – 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca)
Một số bài toán về chứng minh biểu thức bạn nên làm
Bài tập 1
Chứng minh các biểu thức sau:
- (a+b)(a2 – ab +b2) + (a – b)(a2 +ab +b2) = 2a3
- (a2+b2)(c2+d2) = (ac+bd)2+(ad – bc)2
Gợi ý: để làm được dạng bài toán này thì chúng ta hãy sử dụng các hằng đẳng thức ở trên và áp dụng các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử.
Bài tập 2
Cho số tự nhiên a chia cho 5 thì có kết quả dư 4. Bạn hãy chứng minh a2 chia cho 5 thì dư 1.
Giải: vì a chia cho 5 dư 4 thì số đó sẽ có dạng là: a= 5k +4 (với k là số tự nhiên)
Khi đó: a2 = (5k +4)2= 25k2 + 40k + 16 = 25k2 + 40k + 15 + 1 = (25k2 + 40k + 15)+ 1 = 5(5k2+ 8k+ 3) +1. Như vậy (5k +4)2 chia cho 5 sẽ dư 1. Và a2 chia cho 5 cũng dư 1.
Bài tập 3
Chứng minh rằng: a. x2 – 6x+10 >0 với mọi x
- 4x- x2– 5 <0 với mọi x
Gợi ý : bạn hãy sử dụng hằng đẳng thức để chứng minh bất đẳng thức trên. Đối với các bất đẳng thức thì chứng minh sẽ tương tự với các đẳng thức.
Cuối cùng, bài toán a3+b3+c3-3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 – ab – bc – ca) cũng đã được hướng dẫn giải một cách chi tiết và dễ hiểu. Với các dạng toán như thế này mọi người chỉ cần sử dụng các hằng đẳng thức và các phương pháp phân tích đa tích thành nhân tử để giải quyết một cách dễ dàng. Và điều quan trọng khi giải các dạng toán này đó chính là bạn phải nhớ các hằng đẳng thức đó một cách chính xác. Và rèn luyện chăm chỉ để có được sự phản xạ nhanh khi gặp các dạng toán này. Ngoài những bài toán trên thì mọi người hãy tìm và đọc các dạng toán tương tự ở trên những diễn đàn học tập hay là những quyển sách tham khảo. Làm bài tập nhiều sẽ giúp bạn làm quen hơn với các dạng toán. Hi vọng những thông tin trên sẽ giúp mọi người thành thạo hơn với dạng toán này. Nếu còn chưa rõ điều gì thì mọi người hãy comment ở dưới bài viết này nhé.
